Das Wachstum von Bakterien, die Vermehrung in einer Kaninchenpopulation und der Zerfall radioaktiver Stoffe nach einem Atomunglück - alle diese Beispiele haben eine Gemeinsamkeit. Sie können mathematisch jeweils mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden.
Aber was ist eine Exponentialfunktion überhaupt? Was sind ihre Eigenschaften? Und ist die \ee-Funktion dasselbe wie die Exponentialfunktion oder nur ein Spezialfall?
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Exponentialfunktion einfach erklärt
Die Exponentialfunktion beschreibt einen Änderungsprozess, in dem sich der Wert im gleichen Intervall immer um denselben Faktor ändert. Ein Beispiel ist, dass sich eine Kaninchenpopulation auf einer verlassenen Insel **jedes Jahr** (also im \col[1]11-Jahres-Intervall) **verdoppelt** (um den Faktor \col[2]22 zunimmt). Das heißt, wenn zu Beobachtungsbeginn 1010 Kaninchen auf der Insel ausgesetzt werden, dann haben sie sich innerhalb eines Jahres auf 2020 Kaninchen vermehrt, nach zwei Jahren sind es 4040 Kaninchen, ...
In der Praxis wird die Exponentialfunktion hauptsächlich zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen genutzt.
Wachstumsprozess: Exponentielles Wachstum sind Vorgänge, die in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor zunehmen. Ein Beispiel ist das der Kaninchenpopulation, die sich jährlichverdoppelt.
Zerfallsprozess: Exponentiellen Zerfall findest du in Vorgängen, bei denen etwas in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor abnimmt. Ein Beispiel ist der radioaktive Zerfall. Bei einem Atomunfall werden große Mengen Cäsium 137 freigesetzt. Die Menge halbiert sich aber alle \col[1]{30}30Jahre. Das heißt, nach 3030 Jahren existiert noch die Hälfte der freigesetzten Cäsium-Atome, nach 6060 Jahren ist es noch ein Viertel (die Hälfte der Hälfte), nach 9090 Jahren ein Achtel (die Hälfte des Viertels), ...
Bei Exponentialfunktionen steht xx also immer im Exponenten.
\col[3]{a}a ist der Streckfaktor. Beim exponentiellen Wachstum und Zerfall kann \col[3]aa auch als Anfangswert gesehen werden, also beispielsweise die Anfangspopulation der Kaninchen oder die Anzahl der beim Atomunfall freigesetzten Cäsium 137-Kerne.
\col[2]{b}b ist die Basis. Diese gibt an, wie steil die Funktion steigt oder fällt. Beispielsweise \col[2]22 für die Verdopplung der Kaninchenpopulation oder \col[2]{0,5}0,5 für die Halbierung der Cäsium 137-Kerne.
xx gibt dir an, welches Intervall seit Beobachtungsbeginn du betrachtest. Bei 11-jahres-Intervallen gibt xx also das xx-te Jahr an, z.B. x=3x=3 das 3.3. Jahr nach Beobachtungsbeginn. Bei den 3030-Jahres-Intervallen musst du aufpassen. Hier ist beispielsweise x=3x=3 das 90.90. Jahr nach Beobachtungsbeginn, da es das dritte 3030-Jahres-Intervall ist.
f(x)f(x) ist der Funktionswert zum (Zeit)Punkt xx. Im Kaninchen-Beispiel gibt f(3)f(3) die Anzahl der Kaninchen nach 33 Jahren an. Beim radioaktiven Zerfall gibt f(3)f(3) die Anzahl der Cäsium 137-Kerne nach 9090 Jahren an.
Exponentialfunktion Erklärung
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich ist \mathbb{D}=\RD=R.
Du darfst für xx also alle Zahlen ohne Einschränkung einsetzen.
Wertebereich
Der Wertebereich ist entweder \mathbb{W}=\R^+W=R+ oder \mathbb{W}=\R^-W=R−. Das ist abhängig von \col[3]{a}a.
\col[3]{a}>0 \implies \mathbb{W}=\R^+a>0⟹W=R+
\col[3]{a}<0 \implies \mathbb{W}=\R^-a<0⟹W=R−
Das heißt, die Exponentialfunktion schneidet niemals die xx-Achse. Die xx-Achse ist also eine Asymptote.
Achtung: Das gilt, solange du den Funktionsgraphen nicht in yy-Richtung verschiebst.
Funktionsgraph
Der Funktionsgraph der Exponentialfunktion ist immer streng monoton. Er kann also
Ob der Funktionsgraph steigt oder fällt, hängt vom Wert der Parameter \col[3]aa und \col[2]bb ab.
Einfluss der Parameter auf den Funktionsgraphen
Eben hast du schon gesehen, dass Exponentialfunktionen entweder über oder unter der xx-Achse und steigend oder fallend verlaufen. Es wird also in vier Fälle unterschieden.
Die ersten beiden Fälle beschäftigen sich mit der Basis\col[2]bb. Die Basis gibt an, wie schnell der Graph steigt oder fällt. Dieser Parameter entscheidet also, ob ein Wachstum oder ein Zerfall vorliegt.
Die anderen beiden Fälle beschäftigen sich mit dem Streckfaktor\col[3]aa, der bei Wachstums- und Zerfallsfunktionen auch als Anfangswert gesehen werden kann.
Fall 1: \Large{f(x)=\col[2]b^x}f(x)=bx mit \Large{\col[2]b>1}b>1
Ist \col[2]bbgrößer als 11, dann liegt eine Wachstumsfunktion vor. Sie ist streng monoton steigend. Je größer\col[2]bb in diesem Fall ist, desto steiler ist die Funktion.
Das ist ja auch logisch. Bei f(x)=\col[2]{1,5}^xf(x)=1,5x liegt schließlich eine Ver-1,5-fachung pro 11-Einheits-Intervall vor, bei f(x)=\col[2]{2,2}^xf(x)=2,2x eine Ver-2,2-fachung und bei f(x)=\col[2]6^xf(x)=6x eine Versechsfachung.
Fall 2: \Large{f(x)=\col[2]b^x}f(x)=bx mit \Large{0<\col[2]b<1}0<b<1
Ist die Basis\col[2]bb zwischen 00 und 11, dann liegt eine Zerfallsfunktion vor. Sie ist streng monoton fallend. Je kleiner\col[2]bb dabei ist, desto stärker fällt der Graph.
Fall 3: \Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}f(x)=a⋅bx mit \Large{\col[3]a>0}a>0
Ist der Streckfaktor\col[3]aa positiv, dann kann er auch als Anfangswert einer exponentiellen Wachstums- oder Zerfallsfunktion gesehen werden.
\col[3]aa ist dann der yy-Achsenabschnitt. Das ist die Stelle, an welcher der Graph die yy-Achse schneidet.
Fall 4: \Large{f(x)=\col[3]a\cdot \col[2]b^x}f(x)=a⋅bx mit \Large{\col[3]a<0}a<0
Ist der Streckfaktor\col[3]aa negativ, dann wird das Monotonieverhalten umgekehrt. Es findet eine Spiegelung an der xx-Achse statt.
Es ist also f(x)=\col[1]-\col[3]{a}\cdot\col[2]b^xf(x)=−a⋅bx das Spiegelbild von f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^xf(x)=a⋅bx.
Spezialfall natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion zur Basis \ee.
\ee ist aber nichts anderes als die Kurzform einer reellen Zahl, die unendlich viele Nachkommastellen hat.
Das sprichst du als „Logarithmus von xx zur Basis \col[2]bb“.
Du gehst wie immer bei der Bildung der Umkehrfunktion in zwei Schritten vor.
\fcolorbox{white}{grey}{1}1 Auflösen der Funktion nach xx
\fcolorbox{white}{grey}{2}2 Vertauschen von xx und yy
Das versuchen wir am Kaninchen-Beispiel. Wenn \col[3]{10}10 Kaninchen ausgesetzt werden (Anfangswert \col[3]aa) und sie sich jährlich verdoppeln (Steigungsfaktor \col[2]bb), dann lautet die Funktionsgleichung:
Du benötigst du Umkehrfunktion, wenn du die Exponentialfunktion nach xx auflösen möchtest. Das machst du beispielsweise, wenn du wissen möchtest, in welchem Jahr die Kaninchenpopulation bei 320320 liegt.
Dafür setzt du einfach 320320 in die Umkehrfunktion ein.
Nach 55 Jahren hat sich die Kaninchen-Population auf 320320 erhöht.
Spezialfall: Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=\e^xf(x)=ex wird als f^{-1}(x)=\ln(x)f−1(x)=ln(x) geschrieben. Dieser spezielle Logarithmus \ln(x)ln(x) wird auch natürlicher Logarithmus genannt. Er ist nichts anderes als der Logarithmus zur Basis \ee, also \ln(x)=\log_\e(x)ln(x)=loge(x).
Den Graph der Umkehrfunktion sämtlicher Exponentialfunktionen zeichnest du durch Spiegelung an der Winkelhalbierendeny=xy=x.
An folgender Animation siehst du das einmal beispielhaft für die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.
Rechenregeln
Bei Exponentialfunktionen können dir die Potenzgesetze helfen.
Eine Bakterienkultur besteht anfangs aus 5050 Bakterien. Jede Stunde nimmt die Anzahl der Bakterien um 70~\%70% zu.
a) Stelle die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit tt als Funktion dar.
b) Zeichne den zugehörigen Funktionsgraphen für die ersten 55 Stunden. Wähle eine geeignete Skalierung.
c) Bestimme die Anzahl der Bakterien nach 1010 Stunden.
d) Nach wie vielen Stunden besteht die Bakterienkultur aus mehr als 500.000500.000 Bakterien?
Lösung
a) Funktionsgleichung
Du weißt, dass
es anfangs 5050 Bakterien waren. \rarr→\col[3]a=\col[3]{50}a=50
die Bakterienkultur stündlich um 70~\%70% zunimmt. Sie ver-1,7-facht sich also. \rarr→\col[2]b=\col[2]{1,7}b=1,7
Das setzt du in die allgemeine Funktionsgleichung f(x)=\col[3]a\cdot\col[2]b^xf(x)=a⋅bx ein. Dein xx ist jetzt ein tt, weil du die Funktion in Abhängigkeit von der Zeit tt angeben sollst.
Am besten erstellst du dir zuerst eine Wertetabelle. Anschließend wählst du die richtige Einteilung, überträgst die Punkte in das Koordinatensystem und verbindest sie zu einem Funktionsgraphen.
tt
f(t)=50\cdot1,7^tf(t)=50⋅1,7t
00
5050
11
8585
22
144,5144,5
33
245,65245,65
44
417,61417,61
55
709,93709,93
c) Anzahl der Bakterien nach 1010 Stunden
Du setzt t=10t=10 in die Funktionsgleichung f(t)=50\cdot1,7^tf(t)=50⋅1,7t ein.
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